$4\cos^2 x + 2\cos x > 2\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

1. 問題の内容

$4\cos^2 x + 2\cos x > 2\sqrt{2}\cos x + \sqrt{2}$ を $0 \le x < 2\pi$ の範囲で解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$4\cos^2 x + 2\cos x - 2\sqrt{2}\cos x - \sqrt{2} > 0$

$4\cos^2 x + (2 - 2\sqrt{2})\cos x - \sqrt{2} > 0$

ここで、$t = \cos x$ とおくと、不等式は次のようになります。

$4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} > 0$

この2次不等式を解くために、まず2次方程式 $4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} = 0$ の解を求めます。解の公式を用いると、

$t = \frac{-(2-2\sqrt{2}) \pm \sqrt{(2-2\sqrt{2})^2 - 4(4)(-\sqrt{2})}}{2(4)}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm \sqrt{4 - 8\sqrt{2} + 8 + 16\sqrt{2}}}{8}$

$t = \frac{-2 + 2\sqrt{2} \pm \sqrt{12 + 8\sqrt{2}}}{8}$

$t = \frac{-1 + \sqrt{2} \pm \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}}{4}$

$t = \frac{-1 + \sqrt{2} \pm (\sqrt{2} + 1)}{4}$

よって、$t = \frac{-1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ と

$t = \frac{-1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

となります。

したがって、$4t^2 + (2 - 2\sqrt{2})t - \sqrt{2} > 0$ の解は、$t < -\frac{1}{2}$ または $t > \frac{\sqrt{2}}{2}$ となります。

ここで、$t = \cos x$ に戻すと、$\cos x < -\frac{1}{2}$ または $\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で考えると、

$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ の解は $0 \le x < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < x < 2\pi$

$\cos x < -\frac{1}{2}$ の解は $\frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}$

となります。

$\cos x > \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$0 \le x < \frac{\pi}{4}$ , $\frac{7}{4} \pi < x < 2\pi$

$\cos x < -\frac{1}{2}$ のとき、$\frac{2}{3} \pi < x < \frac{4}{3} \pi$

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{4}$, $\frac{2}{3} \pi < x < \frac{4}{3} \pi$, $\frac{7}{4} \pi < x < 2 \pi$