与えられた極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\left( \frac{x}{x+1} \right)^x = \left( \frac{x+1-1}{x+1} \right)^x = \left( 1 - \frac{1}{x+1} \right)^x$

ここで、$y = x+1$ とおくと、$x = y-1$ なので、

$\left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{y-1} = \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^y \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{-1}$

$x \to \infty$ のとき、$y \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x = \lim_{y \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^y \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{-1}$

$\lim_{y \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^y = e^{-1}$

$\lim_{y \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{y} \right)^{-1} = 1$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{x+1} \right)^x = e^{-1} \cdot 1 = e^{-1} = \frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$