ある商店の葡萄は4箱あり、3箱が甘い葡萄、1箱がすっぱい葡萄です。甘い葡萄の適正価格は1000円、すっぱい葡萄の適正価格は500円です。商店では、甘い葡萄には100%の確率で1000円の値札がつけられ、すっぱい葡萄には1/3の確率で1000円、2/3の確率で500円の値札がつけられます。価格が1000円の時に、それがすっぱい葡萄である確率を求める問題です。

1. 問題の内容

ある商店の葡萄は4箱あり、3箱が甘い葡萄、1箱がすっぱい葡萄です。甘い葡萄の適正価格は1000円、すっぱい葡萄の適正価格は500円です。商店では、甘い葡萄には100%の確率で1000円の値札がつけられ、すっぱい葡萄には1/3の確率で1000円、2/3の確率で500円の値札がつけられます。価格が1000円の時に、それがすっぱい葡萄である確率を求める問題です。

2. 解き方の手順

条件付き確率の問題です。

A: 価格が1000円である事象

B: すっぱい葡萄である事象

求める確率は $P(B|A)$ です。ベイズの定理を使います。

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

まず、各確率を計算します。

$P(B)$: 葡萄がすっぱい確率 = $\frac{1}{4}$

$P(A|B)$: すっぱい葡萄に1000円の値札がつく確率 = $\frac{1}{3}$

$P(A)$: 葡萄に1000円の値札がつく確率

$P(A)$を計算するために、甘い葡萄に1000円の値札がつく確率 $P(A|B^c)$ を求めます。

$P(B^c)$: 葡萄が甘い確率 = $\frac{3}{4}$

$P(A|B^c)$: 甘い葡萄に1000円の値札がつく確率 = 1

$P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|B^c)P(B^c)$

$P(A) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + 1 \times \frac{3}{4} = \frac{1}{12} + \frac{9}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

$P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{12} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} = 0.1$

3. 最終的な答え

0. 1