与えられた3次式 $x^3 + x^2 - x - 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $x^3 + x^2 - x - 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

この式を因数分解するために、共通因数を見つけるか、因数定理を適用することを試みます。今回は、最初の2項と最後の2項をそれぞれまとめることで、共通因数を見つけることができます。

まず、$x^3 + x^2$ から $x^2$ をくくり出すと、

$x^2(x + 1)$

次に、$-x - 1$ から $-1$ をくくり出すと、

$-1(x + 1)$

したがって、元の式は次のように書き換えられます。

$x^2(x + 1) - 1(x + 1)$

次に、$(x + 1)$ が共通因数であるため、これをくくり出すと、

$(x + 1)(x^2 - 1)$

ここで、$x^2 - 1$ は平方の差の形をしているので、$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ と因数分解できます。

したがって、元の式は次のように完全に因数分解されます。

$(x + 1)(x - 1)(x + 1)$

これはさらに、

$(x + 1)^2 (x - 1)$

と書き換えられます。

3. 最終的な答え

$(x+1)^2(x-1)$