次の和 $S$ を求めます。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求めます。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$を書き出します。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S$を書き出します。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-3) \cdot 3^{n-1} + (2n-1) \cdot 3^n$

$S - 3S$を計算します。

$-2S = 1 \cdot 1 + (3-1) \cdot 3 + (5-3) \cdot 3^2 + \dots + (2n-1 - (2n-3)) \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^n$

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}$は等比数列の和なので、

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} = \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1)$

これを代入すると、

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3}{2}(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3(3^{n-1} - 1) - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^n$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^n + 3^n$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2n \cdot 3^n - 2$

$-2S = (2 - 2n)3^n - 2$

$S = (n-1)3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$