与えられた分数の式を計算し、簡略化することです。 $ \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{a^2 - b^2} $

1. 問題の内容

与えられた分数の式を計算し、簡略化することです。

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{a^2 - b^2}$

2. 解き方の手順

まず、$a^2 - b^2$ を因数分解します。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

次に、与えられた分数の式の分母を$(a+b)(a-b)$で通分します。

$\frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{a^2 - b^2} = \frac{a}{a+b} + \frac{b}{a-b} - \frac{2ab}{(a+b)(a-b)}$

$= \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} + \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{2ab}{(a+b)(a-b)}$

$= \frac{a(a-b) + b(a+b) - 2ab}{(a+b)(a-b)}$

分子を展開し、整理します。

$a(a-b) + b(a+b) - 2ab = a^2 - ab + ab + b^2 - 2ab = a^2 - 2ab + b^2$

したがって、

$\frac{a(a-b) + b(a+b) - 2ab}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a+b)(a-b)}$

分子を因数分解します。

$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

すると、

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}$

$(a-b)$で約分します。

$\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)} = \frac{a-b}{a+b}$

3. 最終的な答え

$\frac{a-b}{a+b}$