与えられた3つの式について、分母を有理化し、簡単にする問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ (3) $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式について、分母を有理化し、簡単にする問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

(3) $\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) それぞれの項の分母を有理化します。

まず、$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化します。$\sqrt{3} - 1$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} \times \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{2}$

次に、$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化します。$\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{15} - 3}{5 - 3} = \frac{\sqrt{15} - 3}{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{15} - 3}{2} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5} - (\sqrt{15} - 3)}{2} = \frac{-\sqrt{5} + 3}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

(3) 分母を有理化するために、分母の共役な複素数である $(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(1 - \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})} \times \frac{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} = \frac{((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{2})((1 + \sqrt{3}) + \sqrt{2})}{((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})((1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3})} = \frac{(1 + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{(1 + \sqrt{3}) \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$