与えられた行列 $\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、(3,2)成分（つまり3行2列の成分）を用いて、第2列を掃き出す操作を行った結果として正しいものを選ぶ問題です。ここで、(3,2)成分は1です。

1. 問題の内容

与えられた行列

$\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

に対して、(3,2)成分（つまり3行2列の成分）を用いて、第2列を掃き出す操作を行った結果として正しいものを選ぶ問題です。ここで、(3,2)成分は1です。

2. 解き方の手順

掃き出し法（行基本変形）を用いて、第2列の(1,2)成分と(2,2)成分を0にすることを考えます。

まず、与えられた行列をAとします。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

(1,2)成分を0にするために、1行目から3行目の-2倍を引きます。

$R_1 \rightarrow R_1 - (-2)R_3 = R_1 + 2R_3$

$\begin{pmatrix} 2+2(1) & -2+2(1) & -1+2(-3) & -3+2(1) \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

(2,2)成分を0にするために、2行目から3行目の(-3)倍を引きます。

$R_2 \rightarrow R_2 - (-3)R_3 = R_2 + 3R_3$

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 0+3(1) & -3+3(1) & 3+3(-3) & 2+3(1) \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 3 & 0 & -6 & 5 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

最後に、2行目と3行目を入れ替えます。

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 3 & 0 & -6 & 5 \end{pmatrix}$

選択肢の中にこの行列がないため、手順が間違っているか、選択肢の中に正解がないと考えられます。

問題文の指示通り、(3,2)成分を用いて第2列を掃き出すことを考えます。

(3,2)成分は1なので、

1行目から3行目の-2倍を引きます。

$R_1 \leftarrow R_1 - (-2)R_3 = R_1 + 2R_3$

$\begin{pmatrix} 2+2(1) & -2+2(1) & -1+2(-3) & -3+2(1) \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

2行目から3行目の3倍を引きます。

$R_2 \leftarrow R_2 - (-3)R_3 = R_2 + 3R_3$

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 0+3(1) & -3+3(1) & 3+3(-3) & 2+3(1) \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 3 & 0 & -6 & 5 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

これを並び替えると、選択肢の中に似たものがあります。

3行目と2行目を入れ替えることで、$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \\ 3 & 0 & -6 & 5 \end{pmatrix}$となります。

3. 最終的な答え

選択肢の中から最も近いものを選ぶと、3番目の選択肢の$\begin{pmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -7 & -6 & -3 \\ -1 & 5 & 1 \end{pmatrix}$が近いですが、正しくありません。

最初の選択肢にある$\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$も正しくありません。

2番目の選択肢は$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -2 & -3 & 1 \\ -1 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & 0 \end{pmatrix}$で、正しくありません。

正解はおそらく選択肢の中に存在しないか、もしくは問題文の指示に誤りがあります。ただし、最も近いのは一つ目の選択肢に2行目の1倍を3行目から引いた$\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1-0 & 1-(-3) & -3-3 & 1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & -6 & -1 \end{pmatrix}$

より、正解は選択肢の中にないと考えられます。

しかし、(3,2)成分を1としたまま、他の成分を0にするという解釈だとすると、以下のようになります。

$\begin{pmatrix} 4 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

この形に近いものも選択肢にはありません。

上記の考察から、この問題に対する正しい答えは、提示された選択肢の中には存在しないと考えられます。