線形写像 $F$ を表す行列 $A$ を求める問題です。与えられた条件は、 $F\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $F\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $F\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$ です。行列 $A$ は $F(v) = Av$ を満たします。

1. 問題の内容

線形写像 $F$ を表す行列 $A$ を求める問題です。与えられた条件は、

$F\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$,

$F\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$,

$F\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

です。行列 $A$ は $F(v) = Av$ を満たします。

2. 解き方の手順

与えられた3つのベクトルを $v_1$, $v_2$, $v_3$ とし、それぞれの像を $w_1$, $w_2$, $w_3$ とします。すなわち、

$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$,

$w_1 = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $w_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $w_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

です。

3つのベクトル $v_1$, $v_2$, $v_3$ が線形独立かどうかを調べます。

$av_1 + bv_2 + cv_3 = 0$ となる $a, b, c$ を求めます。

$\begin{pmatrix} -a-b-c \\ -a+b+c \\ a-c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

これから、$-a-b-c = 0$, $-a+b+c = 0$, $a-c = 0$ となります。

$a=c$ なので、 $-2a-b=0$, $-b=0$ となり、$b=0$, $a=0$, $c=0$ となります。

よって、$v_1$, $v_2$, $v_3$ は線形独立です。

任意のベクトル $v = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ を $v_1$, $v_2$, $v_3$ の線形結合で表すことを考えます。

$v = av_1 + bv_2 + cv_3$

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a-b-c \\ -a+b+c \\ a-c \end{pmatrix}$

これから、 $-a-b-c = x$, $-a+b+c = y$, $a-c = z$ となります。

$2b = x+y$ より、 $b = \frac{x+y}{2}$.

$c = a-z$ より、 $-a - \frac{x+y}{2} - a + z = x$. よって、 $-2a = \frac{3x+y}{2} - z$. $a = -\frac{3x+y-2z}{4}$.

$c = a-z = -\frac{3x+y-2z}{4} - z = -\frac{3x+y+2z}{4}$.

$F(v) = aF(v_1) + bF(v_2) + cF(v_3)$

$= -\frac{3x+y-2z}{4} \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix} + \frac{x+y}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} -\frac{3x+y+2z}{4} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} \frac{9x+3y-6z}{4} - \frac{2x+2y}{4} - \frac{3x+y+2z}{4} \\ -\frac{12x+4y-8z}{4} + \frac{6x+2y+4z}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4x+0y-8z}{4} \\ \frac{-6x-2y+12z}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-2z \\ -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}y + 3z \end{pmatrix}$

よって、$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ -3/2 & -1/2 & 3 \end{pmatrix}$