$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1 \ -4p_1 \ p_2 \ -3p_1 - 2p_2)$ $b = -p_1 - 3p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？ $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1 \ -4p_1 \ p_2 \ -3p_1 - 2p_2)$

$b = -p_1 - 3p_2$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として以下は正しいか？

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \\ -4 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 8 \\ 4 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -8 \\ -4 \end{pmatrix}, p, q \in \mathbb{R}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた行列 $A$ とベクトル $b$ を使って、$Ax=b$ を書き下します。

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 (-4p_1) + x_3 p_2 + x_4 (-3p_1 - 2p_2) = (x_1 - 4x_2 - 3x_4) p_1 + (x_3 - 2x_4) p_2 = b = -p_1 - 3p_2$

$p_1$ と $p_2$ は線形独立なので、係数を比較して、

$x_1 - 4x_2 - 3x_4 = -1$

$x_3 - 2x_4 = -3$

これらの式を満たす $x_1, x_2, x_3, x_4$ を見つけます。

与えられたパラメータ表示を代入してみましょう。

$x_1 = 3 + 4p + 4q$

$x_2 = 4 - 2p + 4q$

$x_3 = -11 + 8p - 8q$

$x_4 = -4 + 4p - 4q$

これらを上の2つの式に代入します。

$(3 + 4p + 4q) - 4(4 - 2p + 4q) - 3(-4 + 4p - 4q) = 3 + 4p + 4q - 16 + 8p - 16q + 12 - 12p + 12q = (3-16+12) + (4+8-12)p + (4-16+12)q = -1 + 0p + 0q = -1$

$-11 + 8p - 8q - 2(-4 + 4p - 4q) = -11 + 8p - 8q + 8 - 8p + 8q = -3 + 0p + 0q = -3$

したがって、与えられたパラメータ表示は $Ax=b$ の解です。

3. 最終的な答え

正しい