20個の品物の中に3個の不良品が入っている。この中から4個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の個数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

20個の品物の中に3個の不良品が入っている。この中から4個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の個数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

不良品の個数を確率変数 $X$ とします。

$X$ が取りうる値は0, 1, 2, 3です。

期待値 $E(X)$ は、それぞれの値にその値を取る確率を掛けたものを全て足し合わせたものです。

$E(X) = \sum_{x=0}^{3} x \cdot P(X=x)$

しかし、この問題では、期待値の線形性を使うことで、より簡単に解くことができます。

4個取り出すうちの、i番目に取り出したものが不良品であるという事象を $A_i$ とすると、不良品の個数 $X$ は、

$X = A_1 + A_2 + A_3 + A_4$

と表せます。ここで、$A_i$ は不良品なら1、不良品でなければ0をとる確率変数です。

期待値の線形性より、

$E(X) = E(A_1) + E(A_2) + E(A_3) + E(A_4)$

$E(A_i)$ は、i番目に取り出したものが不良品である確率なので、$E(A_i) = P(A_i) = \frac{3}{20}$ （不良品の個数/全体の個数）です。

したがって、

$E(X) = 4 \times \frac{3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$