1から5までの整数が書かれた5枚のカードそれぞれに、A, B, Cの3つのスタンプのうち1つを押す。 (1) 使わないスタンプがあってもよいとき、押し方は何通りあるか。 (2) 使わないスタンプが1つだけあるとき、押し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から5までの整数が書かれた5枚のカードそれぞれに、A, B, Cの3つのスタンプのうち1つを押す。

(1) 使わないスタンプがあってもよいとき、押し方は何通りあるか。

(2) 使わないスタンプが1つだけあるとき、押し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1)

各カードに対して、A, B, Cの3つのスタンプから1つを選ぶことができる。5枚のカードがあるので、それぞれのカードで3通りの選択肢がある。したがって、すべてのカードの押し方の総数は、$3^5$となる。

$3^5 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 243$

(2)

まず、使わないスタンプを1つ選ぶ。A, B, Cのうちどれを使わないかを選ぶので、3通りの選び方がある。

次に、残りの2つのスタンプを使って5枚のカードにスタンプを押す。各カードに対して2つのスタンプから1つを選ぶことができるので、$2^5$通りの押し方がある。しかし、$2^5$通りの中には、全てのカードに同じスタンプを押すという場合が含まれる。この場合、使用するスタンプは1種類なので、使わないスタンプが1つという条件に反する。例えばAを使用しない場合、$2^5$通りには全てのカードにBを押す場合と全てのカードにCを押す場合が含まれている。これらは除外する必要がある。

したがって、2つのスタンプを使ってスタンプを押す場合は、$2^5 - 2$となる。

よって、使わないスタンプが1つになる押し方は、

$3 \times (2^5 - 2)$で求められる。

$2^5 = 32$

$2^5 - 2 = 32 - 2 = 30$

$3 \times 30 = 90$

3. 最終的な答え

(1) 243通り

(2) 90通り