ある母集団は平均 $5$、分散 $16$ の正規分布に従うと思われていたが、母平均が変化したと感じたので、$100$ 個の標本を抽出したところ、その標本平均は $5.7$ であった。母平均が変化したといえるか、有意水準 $5\%$ で検定する。

1. 問題の内容

ある母集団は平均 $5$、分散 $16$ の正規分布に従うと思われていたが、母平均が変化したと感じたので、$100$ 個の標本を抽出したところ、その標本平均は $5.7$ であった。母平均が変化したといえるか、有意水準 $5\%$ で検定する。

2. 解き方の手順

(1) 仮説の設定

* 帰無仮説 $H_0$: 母平均は $5$ である。 ($\mu = 5$)

* 対立仮説 $H_1$: 母平均は $5$ と異なる。 ($\mu \neq 5$)

(2) 検定統計量の算出

標本平均 $\bar{x} = 5.7$、母集団の分散 $\sigma^2 = 16$、標本サイズ $n = 100$ を用いて、検定統計量 $z$ を計算する。

$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}}$

$z = \frac{5.7 - 5}{\sqrt{\frac{16}{100}}} = \frac{0.7}{\sqrt{0.16}} = \frac{0.7}{0.4} = 1.75$

(3) 判定

有意水準 $5\%$ の両側検定を行う。

$z$ 分布表より、有意水準 $2.5\%$ ($0.025$) に対応する $z$ 値は $1.96$ である。

$|z| = |1.75| = 1.75 < 1.96$ なので、帰無仮説は棄却されない。

3. 最終的な答え

母平均が変化したとはいえない。