20個の品物の中に3個の不良品がある。この中から4個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の個数の期待値を求める。

1. 問題の内容

20個の品物の中に3個の不良品がある。この中から4個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の個数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

不良品の個数を表す確率変数を $X$ とします。

$X$ が取りうる値は0, 1, 2, 3です。

期待値 $E(X)$ は、それぞれの取りうる値にその値を取る確率を掛けて足し合わせたものです。

$E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

各確率を計算します。

全事象は20個から4個を取り出す組み合わせなので、${}_{20}C_4 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4845$ 通りです。

$P(X=0)$: 4個とも良品である確率。良品は17個なので、${}_{17}C_4 = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2380$ 通り。

$P(X=0) = \frac{{}_{17}C_4}{{}_{20}C_4} = \frac{2380}{4845}$

$P(X=1)$: 不良品が1個、良品が3個である確率。${}_3C_1 \times {}_{17}C_3 = 3 \times \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 680 = 2040$ 通り。

$P(X=1) = \frac{{}_3C_1 \times {}_{17}C_3}{{}_{20}C_4} = \frac{2040}{4845}$

$P(X=2)$: 不良品が2個、良品が2個である確率。${}_3C_2 \times {}_{17}C_2 = 3 \times \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 3 \times 136 = 408$ 通り。

$P(X=2) = \frac{{}_3C_2 \times {}_{17}C_2}{{}_{20}C_4} = \frac{408}{4845}$

$P(X=3)$: 不良品が3個、良品が1個である確率。${}_3C_3 \times {}_{17}C_1 = 1 \times 17 = 17$ 通り。

$P(X=3) = \frac{{}_3C_3 \times {}_{17}C_1}{{}_{20}C_4} = \frac{17}{4845}$

期待値を計算します。

$E(X) = 0 \cdot \frac{2380}{4845} + 1 \cdot \frac{2040}{4845} + 2 \cdot \frac{408}{4845} + 3 \cdot \frac{17}{4845} = \frac{2040 + 816 + 51}{4845} = \frac{2907}{4845} = \frac{969}{1615} = \frac{3}{5} \cdot \frac{323}{323} \cdot \frac{1}{1}= 0.6$

別解として、期待値の線形性を用いる方法があります。

4個取り出すそれぞれについて、それが不良品である確率を考えます。

ある1個が不良品である確率は $\frac{3}{20}$ です。

4個取り出すので、期待値は $4 \times \frac{3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0.6$

3. 最終的な答え

0.6 個