正則行列 $P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ が与えられている。行列 $A = (p_1 \ 2p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_1 + 2p_2 - p_3)$ とベクトル $b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$ が与えられている。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

1. 問題の内容

正則行列 $P = (p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_4)$ が与えられている。行列 $A = (p_1 \ 2p_1 \ p_2 \ p_3 \ p_1 + 2p_2 - p_3)$ とベクトル $b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$ が与えられている。連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

2. 解き方の手順

$Ax = b$ を解くために、$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}$ とおくと、

$Ax = x_1 p_1 + x_2 (2p_1) + x_3 p_2 + x_4 p_3 + x_5 (p_1 + 2p_2 - p_3) = b = p_1 + 3p_2 + 3p_3$

$p_1, p_2, p_3$ の係数を比較すると、次の連立方程式を得る。

$x_1 + 2x_2 + x_5 = 1$

$x_3 + 2x_5 = 3$

$x_4 - x_5 = 3$

ここで、$x_5 = t$ （パラメータ）とおくと、

$x_1 = 1 - 2x_2 - t$

$x_3 = 3 - 2t$

$x_4 = 3 + t$

$x_2$ はパラメータとして残るため、$x_2 = s$ とおく。

$x_1 = 1 - 2s - t$

したがって、解は次のようになる。

$x = \begin{pmatrix} 1 - 2s - t \\ s \\ 3 - 2t \\ 3 + t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$