$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1, p_2, -p_1 - 3p_2, p_1 - 3p_2)$ $b = 2p_1 + 3p_2$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$ は正しいか判定する。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1, p_2, -p_1 - 3p_2, p_1 - 3p_2)$

$b = 2p_1 + 3p_2$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, p \in \mathbb{R}$

は正しいか判定する。

2. 解き方の手順

まず、$Ax = b$ を満たす $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ を求める。

$Ax = x_1p_1 + x_2p_2 + x_3(-p_1 - 3p_2) + x_4(p_1 - 3p_2) = b = 2p_1 + 3p_2$

整理すると

$(x_1 - x_3 + x_4)p_1 + (x_2 - 3x_3 - 3x_4)p_2 = 2p_1 + 3p_2$

$p_1$ と $p_2$ は線形独立であるから、以下の連立方程式を得る。

$x_1 - x_3 + x_4 = 2$

$x_2 - 3x_3 - 3x_4 = 3$

$x_1 = 2 + x_3 - x_4$

$x_2 = 3 + 3x_3 + 3x_4$

$x = \begin{pmatrix} 2 + x_3 - x_4 \\ 3 + 3x_3 + 3x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + x_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + x_4 \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

与えられた解のパラメータ表示は

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -6p \\ -p \\ -p \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -6p \\ -p \\ -1-p \end{pmatrix}$

与えられた解のパラメータ表示が解であるための必要十分条件は

$3 - (-p) + (-1-p) = 2$ かつ $-6p - 3(-p) - 3(-1-p) = 3$

$3 + p - 1 - p = 2$ かつ $-6p + 3p + 3 + 3p = 3$

$2 = 2$ かつ $3 = 3$

したがって、与えられた解のパラメータ表示は $Ax = b$ の解である。

3. 最終的な答え

正しい