行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられています。$A$が正則行列であるかどうかを判断し、正則であれば逆行列を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられています。$A$が正則行列であるかどうかを判断し、正則であれば逆行列を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、$A$の行列式を計算して、$A$が正則かどうかを調べます。

$|A| = -1(0\cdot1 - 1\cdot0) - 1(0\cdot1 - 1\cdot2) + 1(0\cdot0 - 0\cdot2) = -1(0) - 1(-2) + 1(0) = 0 + 2 + 0 = 2$

行列式が$0$ではないので、$A$は正則行列です。

次に、$A$の逆行列を求めます。逆行列は、余因子行列を転置したものを行列式で割ることで求められます。

余因子行列を計算します。

$C_{11} = (0\cdot1 - 1\cdot0) = 0$

$C_{12} = -(0\cdot1 - 1\cdot2) = 2$

$C_{13} = (0\cdot0 - 0\cdot2) = 0$

$C_{21} = -(1\cdot1 - 1\cdot0) = -1$

$C_{22} = -1\cdot1 - 1\cdot2 = -3$

$C_{23} = -(-1\cdot0 - 1\cdot2) = 2$

$C_{31} = (1\cdot1 - 1\cdot0) = 1$

$C_{32} = -(-1\cdot1 - 1\cdot0) = 1$

$C_{33} = (-1\cdot0 - 1\cdot0) = 0$

余因子行列は

$C = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ -1 & -3 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

転置行列は

$C^T = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

Aは正則であり、逆行列は $\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ である。