$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。 $A = (p_1 \ -p_1 \ p_2 \ p_3)$ とし、$b = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$ とする。 このとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、 $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $p, q \in \mathbb{R}$ は正しいか。

1. 問題の内容

$P = (p_1 \ p_2 \ p_3)$ は正則行列である。

$A = (p_1 \ -p_1 \ p_2 \ p_3)$ とし、$b = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$ とする。

このとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $p, q \in \mathbb{R}$

は正しいか。

2. 解き方の手順

連立一次方程式 $Ax=b$ を解くことを考えます。行列 $A$ の定義より、

$A = (p_1, -p_1, p_2, p_3)$ であり、$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とすると、

$Ax = x_1 p_1 - x_2 p_1 + x_3 p_2 + x_4 p_3 = (x_1 - x_2)p_1 + x_3 p_2 + x_4 p_3$ となります。

このとき、$Ax = b = 3p_1 + 2p_2 + 2p_3$ となるので、

$x_1 - x_2 = 3$, $x_3 = 2$, $x_4 = 2$ を満たす必要があります。

したがって、$x_1 = x_2 + 3$ となり、$x_2 = p$ とおくと、$x_1 = p+3$ となります。

よって、解 $x$ は

$x = \begin{pmatrix} p+3 \\ p \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

となります。

問題で与えられた解のパラメータ表示

$\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

と比較すると、解空間が異なります。

3. 最終的な答え

正しくない