$a > 0$ とする。二次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 6$ の $0 \le x \le a$ における最小値 $m$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。二次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 6$ の $0 \le x \le a$ における最小値 $m$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 4x + 6 = (x - 2)^2 - 4 + 6 = (x - 2)^2 + 2$

よって、$f(x)$ は $x=2$ で最小値 $2$ をとる。

軸 $x=2$ と定義域 $0 \le x \le a$ の位置関係によって場合分けをする。

(i) $0 < a < 2$ のとき、定義域内で $f(x)$ は減少関数であるから、$x=a$ で最小値をとる。

$m = f(a) = a^2 - 4a + 6$

(ii) $2 \le a$ のとき、定義域内に $x=2$ が含まれるので、$x=2$ で最小値をとる。

$m = f(2) = 2$

3. 最終的な答え

$0 < a < 2$ のとき、$m = a^2 - 4a + 6$

$2 \le a$ のとき、$m = 2$