ベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ が与えられている。 (1) これらのベクトルを並べた行列 $A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5})$ を行基本変形で簡約階段行列にしたとき、その行列の成分を求め、$\vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ を $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ の線形結合で表す。 (2) ベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ が張るベクトル空間 $V$ が $\mathbb{R}^3$ 中の平面を表すとき、その平面の方程式を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ が与えられている。

(1) これらのベクトルを並べた行列 $A = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5})$ を行基本変形で簡約階段行列にしたとき、その行列の成分を求め、$\vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ を $\vec{a_1}, \vec{a_2}$ の線形結合で表す。

(2) ベクトル $\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3}, \vec{a_4}, \vec{a_5}$ が張るベクトル空間 $V$ が $\mathbb{R}^3$ 中の平面を表すとき、その平面の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられたベクトルを並べた行列 $A$ を書く。

$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -9 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 1 & -1 & -7 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

この行列を簡約階段行列に変形する。

1. 1行目と2行目を入れ替える。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 2 & -1 & -9 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & -7 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

2. 2行目から1行目の2倍を引く。3行目から1行目を引く。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & -3 & -15 & -6 & -9 \\ 0 & -2 & -10 & -4 & -6 \end{pmatrix}$

3. 2行目を -3 で割る。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 5 & 7 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -10 & -4 & -6 \end{pmatrix}$

4. 1行目から2行目を引く。3行目に2行目の2倍を足す。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

簡約階段行列は

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、① = -2, ② = 3, ③ = 4, ④ = 5, ⑤ = 2。

したがって、

$\vec{a_3} = -(-2)\vec{a_1} + 5\vec{a_2} = 2\vec{a_1} + 5\vec{a_2}$ なので、⑥ = 2, ⑦ = 5。

$\vec{a_4} = 3\vec{a_1} + 2\vec{a_2}$ なので、⑧ = 3, ⑨ = 2。

$\vec{a_5} = 4\vec{a_1} + 3\vec{a_2}$ なので、⑩ = 4。

(2)

平面の方程式は $ax + by + cz = 0$ の形になる。

$\vec{a_1}, \vec{a_2}$ がこの平面上のベクトルなので、

$2a + b + c = 0$

$-a + b - c = 0$

これらの式を足し合わせると $a + 2b = 0$ となるので、$a = -2b$。

2つ目の式に代入すると、 $2b + b - c = 0$ より $3b = c$。

$b = -1$ とすると、 $a = 2$, $c = -3$。

よって、平面の方程式は $2x - y - 3z = 0$。したがって、⑪ = 2, ⑫ = 3。

3. 最終的な答え

(1) ① = -2, ② = 3, ③ = 4, ④ = 5, ⑤ = 2, ⑥ = 2, ⑦ = 5, ⑧ = 3, ⑨ = 2, ⑩ = 4

(2) ⑪ = 2, ⑫ = 3