平面から平面への写像が与えられたとき、平面全体が1点に写されるものをすべて選ぶ問題です。写像は、行列とベクトルの積、または行列とベクトルの積に定数ベクトルを加える形で与えられます。

1. 問題の内容

平面から平面への写像が与えられたとき、平面全体が1点に写されるものをすべて選ぶ問題です。写像は、行列とベクトルの積、または行列とベクトルの積に定数ベクトルを加える形で与えられます。

2. 解き方の手順

平面全体が1点に写されるためには、すべての点 $x$ が同じ点に写像される必要があります。

つまり、写像の結果が $x$ に依存しない場合、平面全体が1点に写されることになります。

* 選択肢1: $x \mapsto \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

この場合、写像の結果は $x$ に依存するため、平面全体は1点に写されません。

* 選択肢2: $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

この場合、$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、$x \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となります。

写像の結果は $x$ に依存しないため、平面全体が1点 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ に写されます。

* 選択肢3: $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この場合、$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、$x \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。

写像の結果は $x$ に依存しないため、平面全体が1点 $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写されます。

* 選択肢4: $x \mapsto \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x$

この場合、$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ なので、$x \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ となります。

写像の結果は $x$ に依存しないため、平面全体が1点 $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ に写されます。

* 選択肢5: $x \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} x$

この場合、写像の結果は $x$ に依存するため、平面全体は1点に写されません。

3. 最終的な答え

平面全体が1点に写されるのは、選択肢2、3、4です。