$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1 - 3p_2 + p_3, -2p_1 + p_2 + 3p_3)$ $b = 3p_1 - 2p_2 + 3p_3$ のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判定する問題。

1. 問題の内容

$P = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1 - 3p_2 + p_3, -2p_1 + p_2 + 3p_3)$

$b = 3p_1 - 2p_2 + 3p_3$

のとき、連立一次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示として、与えられたものが正しいかどうかを判定する問題。

2. 解き方の手順

まず、$A$ の定義より、$A$ を列ベクトルで表現すると、

$A = (p_1, p_2, p_3, 4p_1 - 3p_2 + p_3, -2p_1 + p_2 + 3p_3)$

である。したがって、 $Ax = b$ を満たす $x$ は、

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix}$

とすると、

$x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + x_4 (4p_1 - 3p_2 + p_3) + x_5 (-2p_1 + p_2 + 3p_3) = 3p_1 - 2p_2 + 3p_3$

となる。これを整理すると、

$(x_1 + 4x_4 - 2x_5)p_1 + (x_2 - 3x_4 + x_5)p_2 + (x_3 + x_4 + 3x_5)p_3 = 3p_1 - 2p_2 + 3p_3$

$p_1, p_2, p_3$ は線形独立なので、

$x_1 + 4x_4 - 2x_5 = 3$

$x_2 - 3x_4 + x_5 = -2$

$x_3 + x_4 + 3x_5 = 3$

となる。与えられた解のパラメータ表示は、

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + p \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + q \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

すなわち、

$x_1 = 3 + p$

$x_2 = -2 + q$

$x_3 = 3$

$x_4 = 4p - 3q$

$x_5 = -2p + q$

これを上記の連立一次方程式に代入する。

$(3+p) + 4(4p-3q) - 2(-2p+q) = 3 + p + 16p - 12q + 4p - 2q = 3 + 21p - 14q = 3$

よって、$21p - 14q = 0$

$(-2+q) - 3(4p-3q) + (-2p+q) = -2 + q - 12p + 9q - 2p + q = -2 - 14p + 11q = -2$

よって、$-14p + 11q = 0$

$3 + (4p - 3q) + 3(-2p + q) = 3 + 4p - 3q - 6p + 3q = 3 - 2p = 3$

よって、$-2p = 0$

したがって、$p=0$, $q=0$ になり、与えられたパラメータ表示は $Ax = b$ の解全体のパラメータ表示ではない。

与えられたパラメータ表示を $x$ とすると、

$x_1 = 3 + p$

$x_2 = -2 + q$

$x_3 = 3$

$x_4 = 0$

$x_5 = 0$

これは、$x_1 + 4x_4 - 2x_5 = 3 + p = 3$

$x_2 - 3x_4 + x_5 = -2 + q = -2$

$x_3 + x_4 + 3x_5 = 3 = 3$

よって、$p=0, q=0$.

与えられたパラメータ表示は一般解ではない。

3. 最終的な答え

正しくない。