2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ において、定義域 $-2 \le x \le 0$ における最小値と最大値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ において、定義域 $-2 \le x \le 0$ における最小値と最大値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

これにより、頂点の座標が $(a, -a^2 + 1)$ であることがわかる。

定義域 $-2 \le x \le 0$ における最小値と最大値を求めるために、軸 $x = a$ の位置によって場合分けを行う。

(1) 最小値

場合1: $a < -2$ のとき、定義域内で $f(x)$ は減少関数なので、$x = 0$ で最小値をとる。

$f(0) = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$

最小値：$1$ ($x=0$のとき)

場合2: $-2 \le a \le 0$ のとき、頂点が定義域内にあるので、$x = a$ で最小値をとる。

$f(a) = -a^2 + 1$

最小値：$-a^2 + 1$ ($x=a$のとき)

場合3: $a > 0$ のとき、定義域内で $f(x)$ は増加関数なので、$x = -2$ で最小値をとる。

$f(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) + 1 = 4 + 4a + 1 = 4a + 5$

最小値：$4a + 5$ ($x=-2$のとき)

(2) 最大値

場合1: $a < -1$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。

$f(0)=1$

最大値：$1$ ($x=0$のとき)

場合2: $-1 \le a \le -1$ のとき、$x=0$ で最大値をとる。

$f(0)=1$

最大値：$1$ ($x=0$のとき)

場合3: $a>-1$ のとき、$x=-2$ で最大値をとる。

$f(-2) = 4+4a+1 = 4a+5$

最大値: $4a+5$ ($x=-2$のとき)

3. 最終的な答え

(1) 最小値

* $a < -2$ のとき：最小値 $1$ ($x=0$のとき)

* $-2 \le a \le 0$ のとき：最小値 $-a^2 + 1$ ($x=a$のとき)

* $0 < a$ のとき：最小値 $4a + 5$ ($x=-2$のとき)

(2) 最大値

* $a \le -1$ のとき：最大値 $1$ ($x=0$のとき)

* $a > -1$ のとき：最大値 $4a+5$ ($x=-2$のとき)