$a > 0$ とする。2次関数 $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めよ。 (2) $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。2次関数 $f(x) = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \le x \le a$) について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の最小値 $m(a)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ の最大値 $M(a)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最小値 $m(a)$ を求める。

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4) + 1 + 4 = -(x-2)^2 + 5$

よって、軸は $x=2$ である。

$0 \le x \le a$ における $f(x)$ の最小値を考える。

(i) $0 < a < 2$ のとき

$f(x)$ は $x=a$ で最小値をとる。

$m(a) = f(a) = -a^2 + 4a + 1$

(ii) $a \ge 2$ のとき

$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。

$m(a) = f(0) = 1$

(2) 最大値 $M(a)$ を求める。

(i) $0 < a \le 2$ のとき

$f(x)$ は $x=2$ で最大値をとる。

$M(a) = f(2) = 5$

(ii) $a > 2$ のとき

$f(0)=1$、$f(a) = -a^2+4a+1$

軸からの距離を比較する。$2-0 = 2$、$a-2$

$a-2 < 2$ つまり $a < 4$ のとき $f(2) = 5$

$a-2 > 2$ つまり $a > 4$ のとき $f(a) = -a^2+4a+1$

$a-2 = 2$ つまり $a = 4$ のとき $f(a) = f(0)$

$0 < a \le 2$ のとき $M(a) = f(2) = 5$

$2 < a < 4$ のとき $M(a) = f(2) = 5$

$a \ge 4$ のとき $M(a) = f(a) = -a^2 + 4a + 1$

$M(a) = \begin{cases} 5 & (0 < a \le 4) \\ -a^2 + 4a + 1 & (a > 4) \end{cases}$

3. 最終的な答え

(1)

$m(a) = \begin{cases} -a^2 + 4a + 1 & (0 < a < 2) \\ 1 & (a \ge 2) \end{cases}$

(2)

$M(a) = \begin{cases} 5 & (0 < a \le 4) \\ -a^2 + 4a + 1 & (a > 4) \end{cases}$