正2n角形 $A_1A_2...A_{2n}$ において、鈍角三角形の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

正2n角形 $A_1A_2...A_{2n}$ において、鈍角三角形の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

正2n角形の頂点から3点を選び、三角形を作る。

鈍角三角形の条件は、三角形の3つの角のうち、1つが90度より大きいことです。

まず、正2n角形から3点を選んで三角形を作る総数を計算します。

それは $_{2n}C_3$ です。

$_{2n}C_3 = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{2n(2n-1)2(n-1)}{6} = \frac{4n(2n-1)(n-1)}{6} = \frac{2n(2n-1)(n-1)}{3}$

次に、直角三角形の数を数えます。

正2n角形の直径を1辺とする三角形は直角三角形です。

直径はn本あります。それぞれの直径に対して、残りの2n-2個の頂点のいずれかを選ぶと直角三角形ができます。

したがって、直角三角形の数は $n(2n-2) = 2n(n-1)$ です。

最後に、鋭角三角形の数を数えます。

鋭角三角形の頂点は、正2n角形の円周上の連続した$n$個以下の頂点を選ぶことによって作られます。

全ての三角形の総数から、直角三角形と鈍角三角形の数を引けば鋭角三角形の数が求められます。

しかし、鈍角三角形の数を直接求める方が簡単です。

正2n角形の中心をOとすると、鈍角三角形はOを内部に含まない三角形です。

頂点をA,B,Cとすると、A,B,Cがすべて半円に含まれる三角形の数は鈍角三角形の数です。

頂点Aを固定すると、残りの2点はAからn-1以内にある必要があります。したがって、鈍角三角形の数は、

$2n \times \frac{(n-1)(n-2)}{2} = n(n-1)(n-2)$となります。

三角形の総数から直角三角形と鈍角三角形の数を引くと、鋭角三角形の数が求められます。

しかし、問題は鈍角三角形の数なので、直接計算します。

三角形の総数は $_{2n}C_3 = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}$

直角三角形の数は $n(2n-2)$

したがって、鈍角三角形の数は $_{2n}C_3 - 直角三角形の数 - 鋭角三角形の数 です。

全三角形の数 - 直角三角形の数 - 鋭角三角形の数 = 鈍角三角形の数

全三角形の数 = $_{2n}C_3 = \frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} = \frac{4n(2n-1)(n-1)}{6} = \frac{2n(2n-1)(n-1)}{3}$

直角三角形の数 = $2n(n-1)$

鈍角三角形の数 = $n(n-1)(n-2)$

$\frac{2n(2n-1)(n-1)}{3} - 2n(n-1) - 鋭角三角形の数 = 鈍角三角形の数$

全三角形の数 - 直角三角形の数 = 鋭角三角形の数 + 鈍角三角形の数

$\frac{2n(2n-1)(n-1)}{3} - 2n(n-1) = \frac{2n(n-1)}{3}(2n-1-3) = \frac{2n(n-1)(2n-4)}{3} = \frac{4n(n-1)(n-2)}{3}$

これは鋭角三角形と鈍角三角形の和になります。

鈍角三角形の個数は $n(n-1)(n-2)$なので、

$\frac{4n(n-1)(n-2)}{3} - n(n-1)(n-2) = \frac{n(n-1)(n-2)}{3}$

3. 最終的な答え

正2n角形の鈍角三角形の個数は $\frac{n(n-1)(n-2)}{3}$ です。