$P = (p_1\ p_2\ p_3\ p_4)$ は正則行列である。 $A = (p_1\ 2p_1\ p_2\ 3p_1+3p_2\ p_3)$ $b = 2p_1 + 2p_2 - p_3$ のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

1. 問題の内容

$P = (p_1\ p_2\ p_3\ p_4)$ は正則行列である。

$A = (p_1\ 2p_1\ p_2\ 3p_1+3p_2\ p_3)$

$b = 2p_1 + 2p_2 - p_3$

のとき、連立1次方程式 $Ax = b$ の解のパラメータ表示を求める。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ をベクトル $p_1, p_2, p_3, p_4$ を用いて表現する。

$A = (p_1\ 2p_1\ p_2\ 3p_1+3p_2\ p_3)$ は、行列とベクトルをかけるという操作を考えると、

$A = P \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = P C$

ここで $C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ とおく。

$Ax = b$ は、$P C x = b$ となる。

$P$ は正則行列であるから、$P^{-1}$ が存在する。両辺に左から $P^{-1}$ をかけると、

$C x = P^{-1}b$

$b = 2p_1 + 2p_2 - p_3$ であるから、$P^{-1}b = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$C x = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}$ とおくと、

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x_1 + 2x_2 + 3x_4 = 2$

$x_3 + 3x_4 = 2$

ここで、$x_2 = s, x_4 = t$ とおくと、

$x_1 = 2 - 2s - 3t$

$x_3 = 2 - 3t$

したがって、$x = \begin{pmatrix} 2 - 2s - 3t \\ s \\ 2 - 3t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$x = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$