与えられた行列のランクを求める問題です。行列は次の通りです。 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は次の通りです。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。ランクを求めるには、行基本変形を用いて行列を簡約化し、ゼロでない行の数を数えます。

1. 最初の行を基準にして、2行目と3行目から最初の行を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

2. 3行目を-1倍します。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

3. 3行目を基準にして、1行目に3行目を加えます。また、2行目から3行目の2倍を引きます。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

簡約化された行列には3つのゼロでない行があります。したがって、行列のランクは3です。

3. 最終的な答え

3