円に内接する四角形ABCDがあり、AB=1, BC=2, CD=3, DA=4である。線分ACと線分BDの交点をEとする。 (1) ACの長さを求めよ。 (2) BDの長さを求めよ。 (3) 四角形ABCDの面積を求めよ。 (4) AEの長さを求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=1, BC=2, CD=3, DA=4である。線分ACと線分BDの交点をEとする。

(1) ACの長さを求めよ。

(2) BDの長さを求めよ。

(3) 四角形ABCDの面積を求めよ。

(4) AEの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ACの長さを求める。

四角形ABCDは円に内接するので、トレミーの定理より

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD$

$1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = AC \cdot BD$

$3 + 8 = AC \cdot BD$

$AC \cdot BD = 11$

余弦定理を用いる。

$\angle ABC = \theta$ とすると、$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$

$\triangle ABC$ において

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos \theta$

$AC^2 = 5 - 4 \cos \theta$

$\triangle ADC$ において

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos (180^{\circ} - \theta)$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos (180^{\circ} - \theta)$

$AC^2 = 16 + 9 - 24 \cdot (-\cos \theta)$

$AC^2 = 25 + 24 \cos \theta$

$5 - 4 \cos \theta = 25 + 24 \cos \theta$

$-20 = 28 \cos \theta$

$\cos \theta = -\frac{20}{28} = -\frac{5}{7}$

$AC^2 = 5 - 4 \cos \theta = 5 - 4 \cdot (-\frac{5}{7}) = 5 + \frac{20}{7} = \frac{35+20}{7} = \frac{55}{7}$

$AC = \sqrt{\frac{55}{7}} = \frac{\sqrt{385}}{7}$

(2) BDの長さを求める。

(1)より$AC \cdot BD = 11$なので、

$BD = \frac{11}{AC} = \frac{11}{\frac{\sqrt{55}}{\sqrt{7}}} = \frac{11 \sqrt{7}}{\sqrt{55}} = \frac{11 \sqrt{7} \sqrt{55}}{55} = \frac{11 \sqrt{7 \cdot 5 \cdot 11}}{55} = \frac{\sqrt{385}}{5}$

(3) 四角形ABCDの面積を求める。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (-\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49 - 25}{49} = \frac{24}{49}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

四角形ABCDの面積Sは

$S = \triangle ABC + \triangle ADC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin (180^{\circ} - \theta)$

$= \sin \theta + 6 \sin \theta = 7 \sin \theta = 7 \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{7} = 2 \sqrt{6}$

(4) AEの長さを求める。

$\triangle ABE \sim \triangle DCE$ より

$\frac{AE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{3}$

$\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{CD} = \frac{1}{3}$

$AC = AE + CE$

$AE = \frac{1}{3} DE$

$BD = BE + DE$

$CE = 3 BE$

$AC = AE + CE = AE + 3 BE = \frac{\sqrt{385}}{7}$

$BD = BE + DE = BE + 3 AE = \frac{\sqrt{385}}{5}$

$AE + 3BE = \frac{\sqrt{385}}{7}$

$3AE + BE = \frac{\sqrt{385}}{5}$

$BE = \frac{\sqrt{385}}{5} - 3AE$

$AE + 3(\frac{\sqrt{385}}{5} - 3AE) = \frac{\sqrt{385}}{7}$

$AE + \frac{3\sqrt{385}}{5} - 9AE = \frac{\sqrt{385}}{7}$

$-8AE = \frac{\sqrt{385}}{7} - \frac{3\sqrt{385}}{5} = \frac{5\sqrt{385} - 21\sqrt{385}}{35} = \frac{-16\sqrt{385}}{35}$

$AE = \frac{2\sqrt{385}}{35} = 2 \sqrt{\frac{11}{35}}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = \frac{\sqrt{385}}{7}$

(2) $BD = \frac{\sqrt{385}}{5}$

(3) $S = 2\sqrt{6}$

(4) $AE = \frac{2\sqrt{385}}{35}$