$a$ を定数とするとき、2次関数 $y = 3ax^2 + 6ax - a^2$ の最小値が -4 である。このとき、$a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とするとき、2次関数 $y = 3ax^2 + 6ax - a^2$ の最小値が -4 である。このとき、$a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 3a(x^2 + 2x) - a^2$

$y = 3a(x^2 + 2x + 1 - 1) - a^2$

$y = 3a(x + 1)^2 - 3a - a^2$

ここで、2次関数が最小値を持つためには、$a > 0$ である必要があります。

このとき、最小値は $-3a - a^2$ になります。

問題文より、最小値は -4 なので、以下の式が成り立ちます。

$-3a - a^2 = -4$

これを解くと、

$a^2 + 3a - 4 = 0$

$(a + 4)(a - 1) = 0$

$a = -4, 1$

$a > 0$ である必要があるため、$a = 1$ が解となります。

3. 最終的な答え

$a = 1$