$\log_a x = 20$, $\log_b x = 24$, $\log_c x = A$ のとき、$\log_{abc} x = \frac{5}{11}$ となる。このとき、$A$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\log_a x = 20$, $\log_b x = 24$, $\log_c x = A$ のとき、$\log_{abc} x = \frac{5}{11}$ となる。このとき、$A$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、対数の底の変換公式を用いて、与えられた対数を底を $x$ とする対数に変換します。

$\log_a x = 20$ より、 $\frac{\log_x x}{\log_x a} = 20$ なので、 $\log_x a = \frac{1}{20}$

同様に、$\log_b x = 24$ より、 $\log_x b = \frac{1}{24}$

$\log_c x = A$ より、 $\log_x c = \frac{1}{A}$

$\log_{abc} x = \frac{5}{11}$ より、 $\frac{\log_x x}{\log_x (abc)} = \frac{5}{11}$ なので、$\log_x (abc) = \frac{11}{5}$

対数の性質より、$\log_x (abc) = \log_x a + \log_x b + \log_x c$なので、

$\frac{11}{5} = \frac{1}{20} + \frac{1}{24} + \frac{1}{A}$

$\frac{1}{A} = \frac{11}{5} - \frac{1}{20} - \frac{1}{24} = \frac{11}{5} - \frac{6}{120} - \frac{5}{120} = \frac{11}{5} - \frac{11}{120} = \frac{11 \times 24}{120} - \frac{11}{120} = \frac{264 - 11}{120} = \frac{253}{120}$

したがって、$A = \frac{120}{253}$

3. 最終的な答え

$\frac{120}{253}$