(1) 不等式 $2n + 135 \le 9(n - 4)$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めます。 (2) 不等式 $8 + \frac{2}{3}(n - 5) > \frac{7}{4}n$ を満たす最大の自然数 $n$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $2n + 135 \le 9(n - 4)$ を満たす最小の自然数 $n$ を求めます。

(2) 不等式 $8 + \frac{2}{3}(n - 5) > \frac{7}{4}n$ を満たす最大の自然数 $n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $2n + 135 \le 9(n - 4)$ を解きます。

まず、右辺を展開します。

$2n + 135 \le 9n - 36$

次に、$n$ に関する項を左辺に、定数項を右辺に移項します。

$2n - 9n \le -36 - 135$

$-7n \le -171$

両辺を $-7$ で割ります（負の数で割るので不等号の向きが変わります）。

$n \ge \frac{171}{7}$

$\frac{171}{7} = 24\frac{3}{7}$ なので、$n \ge 24\frac{3}{7}$ を満たす最小の自然数は $25$ です。

(2) 不等式 $8 + \frac{2}{3}(n - 5) > \frac{7}{4}n$ を解きます。

まず、両辺に $12$ を掛けて分母を払います。

$12 \left( 8 + \frac{2}{3}(n - 5) \right) > 12 \left( \frac{7}{4}n \right)$

$96 + 8(n - 5) > 21n$

次に、左辺を展開します。

$96 + 8n - 40 > 21n$

$56 + 8n > 21n$

$n$ に関する項を右辺に、定数項を左辺に移項します。

$56 > 21n - 8n$

$56 > 13n$

両辺を $13$ で割ります。

$\frac{56}{13} > n$

$n < \frac{56}{13}$

$\frac{56}{13} = 4\frac{4}{13}$ なので、$n < 4\frac{4}{13}$ を満たす最大の自然数は $4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $n = 25$

(2) $n = 4$