4つの箱に1, 2, 3, 4の番号がついており、同じ番号のついた4枚のカードを各箱に1枚ずつ入れる。カードと箱の番号が一致したものの個数をXとする。確率分布を完成させ、$P(X \le 2)$を求める。

1. 問題の内容

4つの箱に1, 2, 3, 4の番号がついており、同じ番号のついた4枚のカードを各箱に1枚ずつ入れる。カードと箱の番号が一致したものの個数をXとする。確率分布を完成させ、$P(X \le 2)$を求める。

2. 解き方の手順

まず、確率分布を完成させる。確率の合計は1になるので、X=0, 1, 2, 3, 4それぞれの確率を足して1になるようにする。与えられた確率を合計すると、

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + 0 + \text{確率} = 1$

ここからX=0, X=1, X=2, X=3の確率が与えられており、X=4の確率が不明である。

Xの確率分布の表には、X=0からX=4まで合計の確率が示されている。合計は1なので、各確率の合計は1にならなければならない。

しかし、現状では合計が1にならない。確率の合計が1になるように修正する。

次に、X=4の確率を計算する。4枚のカードすべてが一致する確率は、$\frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$となる。

したがって、X=4の確率は$\frac{1}{24}$である。

表に記載されているX=4の確率は2なので、修正する必要がある。

X=4となるのは、すべてのカードが正しい箱に入っている場合だけなので、そのような場合は1通りしかない。全部で4! = 24通りのカードの入れ方があるので、X=4となる確率は$\frac{1}{24}$である。

表の合計の欄の値も修正が必要。

$P(X=0)$を計算する。これは4枚ともすべて異なる箱に入っている確率である。

これは攪乱順列の数え上げ問題になる。

D(n) = (n-1)(D(n-1) + D(n-2))

D(1) = 0

D(2) = 1

D(3) = 2(1+0) = 2

D(4) = 3(2+1) = 9

$P(X=0) = \frac{D(4)}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$

問題文ではP(X=0)は1とあるので、これも修正する必要がある。

$P(X=1) = \frac{1}{3}$である。カードが1枚だけ正しい箱に入っている場合を考える。

正しい箱に入っているカードを1枚選ぶ方法は4通り。残りの3枚のカードはどのカードも正しい箱に入っていない必要がある。3枚のカードの攪乱順列はD(3) = 2通り。

よって、P(X=1) = $\frac{4 \times 2}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

$P(X=2)$を計算する。4枚のカードのうち2枚だけ正しい箱に入っている場合を考える。正しい箱に入っているカードを選ぶ方法は、$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。残りの2枚のカードはどのカードも正しい箱に入っていない必要がある。2枚のカードの攪乱順列はD(2) = 1通り。

よって、P(X=2) = $\frac{6 \times 1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

$P(X=3)$となることはありえないので、$P(X=3)=0$

$P(X=4)$となるのは、すべてのカードが正しい箱に入っている場合だけなので、そのような場合は1通りしかない。全部で4! = 24通りのカードの入れ方があるので、X=4となる確率は$\frac{1}{24}$である。

したがって、確率分布は以下のようになる。

X = 0のとき、P = 3/8

X = 1のとき、P = 1/3

X = 2のとき、P = 1/4

X = 3のとき、P = 0

X = 4のとき、P = 1/24

合計 = 3/8 + 1/3 + 1/4 + 0 + 1/24 = 9/24 + 8/24 + 6/24 + 0 + 1/24 = 24/24 = 1

よって、確率分布は正しい。

$P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{9}{24} + \frac{8}{24} + \frac{6}{24} = \frac{23}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{23}{24}$