白玉2個、赤玉4個が入った袋からA, Bの順に玉を1つずつ取り出し、先に白玉を取り出した方を勝ちとする。取り出した玉は元に戻さない。この勝負を2500回行ったとき、Aが勝つ回数Xの期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

1. 問題の内容

白玉2個、赤玉4個が入った袋からA, Bの順に玉を1つずつ取り出し、先に白玉を取り出した方を勝ちとする。取り出した玉は元に戻さない。この勝負を2500回行ったとき、Aが勝つ回数Xの期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、Aが1回の勝負で勝つ確率 $p$ を計算する。Aが勝つのは以下のいずれかの場合である。

* Aが1回目に白玉を引く。

* Aが1回目に赤玉を引き、Bが2回目に赤玉を引き、Aが3回目に白玉を引く。

* Aが1回目に赤玉を引き、Bが2回目に赤玉を引き、Aが3回目に赤玉を引き、Bが4回目に赤玉を引き、Aが5回目に白玉を引く。

Aが1回目に白玉を引く確率は、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$である。

Aが1回目に赤玉、Bが2回目に赤玉、Aが3回目に白玉を引く確率は、$\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$である。

Aが1回目に赤玉、Bが2回目に赤玉、Aが3回目に赤玉、Bが4回目に赤玉、Aが5回目に白玉を引く確率は、$\frac{4}{6} \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{2} = \frac{48}{720} = \frac{1}{15}$である。

したがって、Aが勝つ確率は、

$$$$

p = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

$$$$

この勝負を2500回行うので、Aが勝つ回数Xの期待値は、

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E(X) = 2500 \times p = 2500 \times \frac{3}{5} = 500 \times 3 = 1500

$$$$

次に標準偏差を求める。

Xは二項分布に従うので、分散は、

$$$$

V(X) = 2500 \times p \times (1 - p) = 2500 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 2500 \times \frac{6}{25} = 100 \times 6 = 600

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標準偏差は、

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\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{600} = \sqrt{100 \times 6} = 10\sqrt{6}

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3. 最終的な答え

$E(X) = 1500$

$\sigma(X) = 10\sqrt{6}$