ある県における高校3年生の男子の体重の平均値は64.8kg、標準偏差は7.7kgである。この県の高校3年生の男子121人を無作為抽出で選ぶとき、121人の体重の平均 $ \bar{X} $ の期待値 $ E(\bar{X}) $ と標準偏差 $ \sigma(\bar{X}) $ を求めよ。

1. 問題の内容

ある県における高校3年生の男子の体重の平均値は64.8kg、標準偏差は7.7kgである。この県の高校3年生の男子121人を無作為抽出で選ぶとき、121人の体重の平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ と標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、母集団の平均を $\mu$ 、標準偏差を $\sigma$ 、標本サイズを $n$ とします。

この問題では、 $\mu = 64.8$ kg、 $\sigma = 7.7$ kg、 $n = 121$ です。

標本平均 $\bar{X}$ の期待値 $E(\bar{X})$ は、母集団の平均 $\mu$ に等しくなります。

$E(\bar{X}) = \mu$

したがって、$E(\bar{X}) = 64.8$ kgとなります。

次に、標本平均 $\bar{X}$ の標準偏差 $\sigma(\bar{X})$ は、母集団の標準偏差 $\sigma$ を標本サイズの平方根で割ったものになります。

$\sigma(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

この問題では、 $\sigma = 7.7$ kg、 $n = 121$ なので、

$\sigma(\bar{X}) = \frac{7.7}{\sqrt{121}} = \frac{7.7}{11} = 0.7$ kg

3. 最終的な答え

$E(\bar{X}) = 64.8$

$\sigma(\bar{X}) = 0.7$