18歳の男子の身長の標準偏差が6.2cmであることがわかっている。18歳の男子の身長の平均値を信頼度95%で推定するために、$n$人を抽出して調査したい。信頼区間の幅を3cm以下にするためには、$n$はいくつ以上であればよいか。

1. 問題の内容

18歳の男子の身長の標準偏差が6.2cmであることがわかっている。18歳の男子の身長の平均値を信頼度95%で推定するために、$n$人を抽出して調査したい。信頼区間の幅を3cm以下にするためには、$n$はいくつ以上であればよいか。

2. 解き方の手順

信頼区間の幅は、$2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表される。ここで、$z$は信頼係数、$\sigma$は標準偏差、$n$はサンプルサイズである。信頼度95%の場合、$z$値は1.96である。信頼区間の幅を3cm以下にするためには、以下の不等式が成り立つ必要がある。

$2 \times 1.96 \times \frac{6.2}{\sqrt{n}} \leq 3$

これを$n$について解く。

$\frac{2 \times 1.96 \times 6.2}{3} \leq \sqrt{n}$

$\sqrt{n} \geq \frac{2 \times 1.96 \times 6.2}{3} \approx 8.0907$

$n \geq (8.0907)^2 \approx 65.459$

$n$は整数なので、65.459以上を満たす最小の整数は66である。したがって、$n \geq 66$となる。

3. 最終的な答え

66