与えられた方程式は絶対値を含む方程式です。 $\left| \frac{x}{2} + 1 \right| - |x-3| = 2x$ この方程式を解いて、$x$の値を求める必要があります。

1. 問題の内容

与えられた方程式は絶対値を含む方程式です。

$\left| \frac{x}{2} + 1 \right| - |x-3| = 2x$

この方程式を解いて、$x$の値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

絶対値を外すために、$x$の範囲をいくつかのケースに分けて考えます。

* ケース1: $x < -2$のとき

このとき、$\frac{x}{2} + 1 < 0$かつ$x - 3 < 0$なので、方程式は以下のように書き換えられます。

$-(\frac{x}{2} + 1) - (-(x-3)) = 2x$

$-\frac{x}{2} - 1 + x - 3 = 2x$

$\frac{x}{2} - 4 = 2x$

$-\frac{3}{2}x = 4$

$x = -\frac{8}{3}$

$x = -\frac{8}{3} \approx -2.67$ これは$x < -2$を満たします。

* ケース2: $-2 \le x < 3$のとき

このとき、$\frac{x}{2} + 1 \ge 0$かつ$x - 3 < 0$なので、方程式は以下のように書き換えられます。

$\frac{x}{2} + 1 - (-(x-3)) = 2x$

$\frac{x}{2} + 1 + x - 3 = 2x$

$\frac{3}{2}x - 2 = 2x$

$-\frac{1}{2}x = 2$

$x = -4$

$x = -4$ これは$-2 \le x < 3$を満たしません。

* ケース3: $x \ge 3$のとき

このとき、$\frac{x}{2} + 1 > 0$かつ$x - 3 \ge 0$なので、方程式は以下のように書き換えられます。

$\frac{x}{2} + 1 - (x-3) = 2x$

$\frac{x}{2} + 1 - x + 3 = 2x$

$-\frac{x}{2} + 4 = 2x$

$-\frac{5}{2}x = -4$

$x = \frac{8}{5}$

$x = \frac{8}{5} = 1.6$ これは$x \ge 3$を満たしません。

したがって、解は$x = -\frac{8}{3}$のみです。

3. 最終的な答え

$x = -\frac{8}{3}$