与えられた連立一次方程式をクラーメルの公式を用いて解く問題です。 連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} x + 2z = -1 \\ x - y = 1 \\ y - z = 1 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式をクラーメルの公式を用いて解く問題です。

連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

x + 2z = -1 \\

x - y = 1 \\

y - z = 1

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列で表現します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 2 \\

1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1

\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-1 \\ 1 \\ 1

\end{pmatrix}

$$

係数行列の行列式 $D$ を計算します。

$$

D = \begin{vmatrix}

1 & 0 & 2 \\

1 & -1 & 0 \\

0 & 1 & -1

\end{vmatrix}

= 1 \cdot \begin{vmatrix}

-1 & 0 \\

1 & -1

\end{vmatrix}

- 0 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 0 \\

0 & -1

\end{vmatrix}

+ 2 \cdot \begin{vmatrix}

1 & -1 \\

0 & 1

\end{vmatrix}

= 1(1 - 0) - 0 + 2(1 - 0) = 1 + 2 = 3

$$

次に、$x, y, z$ についての行列式 $D_x, D_y, D_z$ を計算します。

$$

D_x = \begin{vmatrix}

-1 & 0 & 2 \\

1 & -1 & 0 \\

1 & 1 & -1

\end{vmatrix}

= -1 \cdot \begin{vmatrix}

-1 & 0 \\

1 & -1

\end{vmatrix}

- 0 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 0 \\

1 & -1

\end{vmatrix}

+ 2 \cdot \begin{vmatrix}

1 & -1 \\

1 & 1

\end{vmatrix}

= -1(1 - 0) - 0 + 2(1 + 1) = -1 + 4 = 3

$$

$$

D_y = \begin{vmatrix}

1 & -1 & 2 \\

1 & 1 & 0 \\

0 & 1 & -1

\end{vmatrix}

= 1 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 0 \\

1 & -1

\end{vmatrix}

- (-1) \cdot \begin{vmatrix}

1 & 0 \\

0 & -1

\end{vmatrix}

+ 2 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 1 \\

0 & 1

\end{vmatrix}

= 1(-1 - 0) + 1(-1 - 0) + 2(1 - 0) = -1 - 1 + 2 = 0

$$

$$

D_z = \begin{vmatrix}

1 & 0 & -1 \\

1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & 1

\end{vmatrix}

= 1 \cdot \begin{vmatrix}

-1 & 1 \\

1 & 1

\end{vmatrix}

- 0 \cdot \begin{vmatrix}

1 & 1 \\

0 & 1

\end{vmatrix}

+ (-1) \cdot \begin{vmatrix}

1 & -1 \\

0 & 1

\end{vmatrix}

= 1(-1 - 1) - 0 + (-1)(1 - 0) = -2 - 1 = -3

$$

クラーメルの公式を用いて、$x, y, z$ を計算します。

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{3} = 0$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-3}{3} = -1$

3. 最終的な答え

$x = 1$

$y = 0$

$z = -1$