関数 $f(\theta) = (a-\frac{1}{2})\sin^2\theta - (a+\frac{1}{2})\cos^2\theta + 2(a+1)\sin\theta\cos\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$)が与えられている。 (1) $f(\theta)$ の最大値と最小値をそれぞれ $a$ を用いて表す。 (2) $f(\theta)$ の最大値が $\frac{9}{2}$ のときの $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = (a-\frac{1}{2})\sin^2\theta - (a+\frac{1}{2})\cos^2\theta + 2(a+1)\sin\theta\cos\theta$ ($0 \leq \theta \leq \pi$)が与えられている。

(1) $f(\theta)$ の最大値と最小値をそれぞれ $a$ を用いて表す。

(2) $f(\theta)$ の最大値が $\frac{9}{2}$ のときの $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(\theta)$を三角関数の公式を用いて変形する。

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$

$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$

これらを$f(\theta)$に代入すると、

$f(\theta) = (a-\frac{1}{2}) \frac{1-\cos(2\theta)}{2} - (a+\frac{1}{2}) \frac{1+\cos(2\theta)}{2} + 2(a+1)\frac{1}{2}\sin(2\theta)$

$f(\theta) = \frac{a}{2} - \frac{1}{4} - \frac{a}{2}\cos(2\theta) + \frac{1}{4}\cos(2\theta) - \frac{a}{2} - \frac{1}{4} - \frac{a}{2}\cos(2\theta) - \frac{1}{4}\cos(2\theta) + (a+1)\sin(2\theta)$

$f(\theta) = -\frac{1}{2} - a\cos(2\theta) + (a+1)\sin(2\theta)$

$f(\theta) = (a+1)\sin(2\theta) - a\cos(2\theta) - \frac{1}{2}$

次に、三角関数の合成を行う。

$f(\theta) = \sqrt{(a+1)^2 + (-a)^2}\sin(2\theta + \alpha) - \frac{1}{2}$

ここで、$\cos\alpha = \frac{a+1}{\sqrt{2a^2+2a+1}}$, $\sin\alpha = \frac{-a}{\sqrt{2a^2+2a+1}}$

$f(\theta) = \sqrt{2a^2+2a+1}\sin(2\theta + \alpha) - \frac{1}{2}$

$0 \le \theta \le \pi$より、$0 \le 2\theta \le 2\pi$.

したがって、$\alpha \le 2\theta+\alpha \le 2\pi+\alpha$

$-1 \le \sin(2\theta+\alpha) \le 1$より、

$f(\theta)$の最大値は$\sqrt{2a^2+2a+1} - \frac{1}{2}$

$f(\theta)$の最小値は$-\sqrt{2a^2+2a+1} - \frac{1}{2}$

(2) $f(\theta)$の最大値が$\frac{9}{2}$より、

$\sqrt{2a^2+2a+1} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

$\sqrt{2a^2+2a+1} = 5$

$2a^2+2a+1 = 25$

$2a^2+2a-24=0$

$a^2+a-12=0$

$(a+4)(a-3)=0$

$a=-4, 3$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\sqrt{2a^2+2a+1} - \frac{1}{2}$、最小値: $-\sqrt{2a^2+2a+1} - \frac{1}{2}$

(2) $a=-4, 3$