底面が1辺 $4\sqrt{3}$ cmの正方形で、他の辺が $2\sqrt{15}$ cmである正四角錐の表面積を求める問題です。

1. 問題の内容

底面が1辺 $4\sqrt{3}$ cmの正方形で、他の辺が $2\sqrt{15}$ cmである正四角錐の表面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

正四角錐の表面積は、底面積と4つの側面積の和で求められます。

まず、底面積を計算します。底面は1辺が $4\sqrt{3}$ cmの正方形なので、

底面積 = $(4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48$ cm$^2$

次に、側面積を計算します。側面は合同な二等辺三角形です。

二等辺三角形の高さを求める必要があります。

底辺の中点から頂点までの高さを $h$ とします。

底辺の半分は $2\sqrt{3}$ cmです。

三平方の定理より、

$h^2 + (2\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{15})^2$

$h^2 + 12 = 60$

$h^2 = 48$

$h = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ cm

側面の三角形の面積は、

$\frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 16 \times 3 = 24$ cm$^2$

側面積は4つの三角形の面積の和なので、

側面積 = $4 \times 24 = 96$ cm$^2$

最後に、表面積を計算します。

表面積 = 底面積 + 側面積 = $48 + 96 = 144$ cm$^2$

3. 最終的な答え

144 cm$^2$