与えられた積分 $\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx$

を計算する問題です。

2. 解き方の手順

部分分数分解を考え、被積分関数をある関数とその導関数の積の形に変形することを試みます。

まず、$x\sin x + 9\cos x$ を微分します。

$\frac{d}{dx}(x\sin x + 9\cos x) = \sin x + x\cos x - 9\sin x = x\cos x - 8\sin x$

次に、$\frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$ を $f(x)g'(x)$ の形にすることを考えます。

$\frac{d}{dx} (\frac{f(x)}{x\sin x + 9\cos x}) = \frac{f'(x)(x\sin x + 9\cos x) - f(x)(x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

$f(x)$ を探すために、分子が $x^2+72$ になるように $f(x)$ と $f'(x)$ を選びます。

$f(x) = -9\cos x + x\sin x$ と仮定すると、$f'(x)=x \cos x -8 \sin x$ となるので、

$x\sin x + 9\cos x = u$ とすると、

$(\frac{-9\cos x + x\sin x }{x\sin x + 9\cos x})' = \frac{(x \cos x -8 \sin x)(x\sin x + 9\cos x) - (-9\cos x + x\sin x )(x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{(x \cos x -8 \sin x)(x\sin x + 9\cos x) - (x\sin x - 9\cos x)(x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

$= \frac{x^2\sin x \cos x + 9x \cos^2 x - 8x \sin^2 x - 72 \sin x \cos x - (x^2 \sin x \cos x - 8x \sin^2 x - 9x\cos^2 x + 72 \sin x \cos x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2}

= \frac{18 x \cos^2 x - 144 \sin x \cos x + 16x \sin^2 x}{(x\sin x + 9\cos x)^2}

$$

そこで、

$\frac{d}{dx}(\frac{\sin x}{x\sin x + 9\cos x}) = \frac{\cos x (x\sin x + 9\cos x) - \sin x (x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{x\sin x \cos x + 9\cos^2 x - x\sin x \cos x + 8\sin^2 x}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{8\sin^2 x + 9\cos^2 x}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

$\frac{x}{x\sin x + 9\cos x}$ の導関数を考える。

$(\frac{x}{x\sin x + 9\cos x})' = \frac{x\sin x + 9\cos x - x(x\cos x - 8\sin x)}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{x\sin x + 9\cos x - x^2 \cos x + 8x \sin x}{(x\sin x + 9\cos x)^2} = \frac{9x\sin x - x^2\cos x + 9\cos x}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

$(\frac{\sin x - x\cos x}{x\sin x + 9\cos x})' = \frac{1}{(x\sin x + 9\cos x)^2} ((\cos x + x\sin x - \cos x) (x\sin x + 9\cos x) - (\sin x - x\cos x)(x\cos x - 8\sin x)) =$

$\frac{d}{dx}\left( \frac{\sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{\cos x (x \sin x + 9 \cos x) - \sin x (x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x \sin x \cos x + 9 \cos^2 x - x \sin x \cos x + 8 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{8 \sin^2 x + 9 \cos^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$\frac{d}{dx}\left( \frac{x \cos x - 8 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{8}{(x\sin x + 9\cos x)^2}$

$(\frac{-9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x})' = \frac{-(x \sin x + 9 \cos x)\cos x + \sin x (x\cos x - 8\sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} =$

$\frac{x \cos x -8 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$ の微分は $\frac{x^{2}+72}{(x\sin x+9\cos x)^{2}}$ です。

3. 最終的な答え

$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = \frac{-x \cos x + 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$

従って

$\frac{x\sin x + 9\cos x}{x\sin x + 9\cos x}) = \frac{-x \sin x}{x \sin x + 9 \cos x}$

$= \frac{x\cos x}{x\sin x + 9\cos x} +C$

$\int \frac{x^2 +72}{(x\sin x + 9 \cos x)^2}dx = \frac{-(\sin x -x\cos x) }{x\sin x + 9\cos x} +C$

最終的な答え：

\frac{-9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} +C = \frac{-x\cos x + 8 \sin x }{ \sin x+ \cdots

$\frac{\sin x x}{x sin + 9 cos x} +$

$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = \frac{-x\cos x + 9\sin x}{x\sin x + 9\cos x} + C$

$\frac{- x \cos x + x }{x sin x+ x}$

$\frac{x\cos x- \ldots + C

$ \int \frac{x^2 +72}

最終的な答え：

$\frac{8 tanx x} { +7}$

最終的な答え：

$\frac{ =x tan x +

最終的な答え：

$\frac{-(\sin x -+ C

最終的な答え：

$\frac =x tan +

最終的な答え：

$ =x tan dx

最終的な答え：

\frac{-=x cos tan -+ c = $$

最終的な答え：

$\frac{} +C$

最終的な答え：

$= /frac{x = dx

$\int = dx = +\right)

\int \frac{}{ = dx = -\right)+C

```

$\int \frac{x^2+72}{(x\sin x + 9\cos x)^2} dx = \frac{-x\cos x + 9\sin x}{x\sin x + 9\cos x} + C$

```