一辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺BC上にBD=1となる点Dをとる。 (1)線分ADの長さを求め、三角形ABDの外接円の半径を求める。 (2)点Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求め、正四面体OABCの体積を求める。 (3)cos∠ODAを求め、点Cから平面OADに下ろした垂線CLの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCにおいて、辺BC上にBD=1となる点Dをとる。

(1)線分ADの長さを求め、三角形ABDの外接円の半径を求める。

(2)点Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求め、正四面体OABCの体積を求める。

(3)cos∠ODAを求め、点Cから平面OADに下ろした垂線CLの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* ADの長さ: △ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B$

$AD^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = 9 + 1 - 6 \cdot \frac{1}{2} = 7$

$AD = \sqrt{7}$

* 外接円の半径R: 正弦定理を用いる。

$\frac{BD}{\sin \angle BAD} = 2R$

$\angle BAD = \theta$ とおく。余弦定理より、

$\cos \theta = \frac{AB^2 + AD^2 - BD^2}{2 \cdot AB \cdot AD} = \frac{3^2 + 7 - 1}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}} = \frac{15}{6\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}}$

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{28} = \frac{3}{28}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$2R = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

$R = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$

(2)

* OHの長さ: OABCは正四面体なので、Hは△ABCの重心に一致する。AHは正三角形ABCの高さの2/3。

$AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \sqrt{3}$

△OAHにおいて、$OA^2 = AH^2 + OH^2$

$3^2 = (\sqrt{3})^2 + OH^2$

$OH^2 = 9 - 3 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

* 正四面体の体積V:

$V = \frac{1}{3} \cdot (\triangle ABCの面積) \cdot OH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3^2 \cdot \sqrt{6} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{18}}{12} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{2}}{12} = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

(3)

* cos∠ODA: △ODAにおいて、余弦定理を用いる。

$OA^2 = OD^2 + AD^2 - 2 \cdot OD \cdot AD \cdot \cos \angle ODA$

$OD^2 = OB^2 + BD^2 - 2 \cdot OB \cdot BD \cdot \cos B = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 10 - 3 = 7$

$OD = \sqrt{7}$

$9 = 7 + 7 - 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} \cdot \cos \angle ODA$

$9 = 14 - 14 \cos \angle ODA$

$14 \cos \angle ODA = 5$

$\cos \angle ODA = \frac{5}{14}$

* CLの長さ: OADの面積をSとする。正四面体の体積Vは$\frac{1}{3} \cdot S \cdot CL$に等しい。

$S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AD \cdot \sin \angle OAD$

△OADに余弦定理を用いる。

$OD^2 = OA^2 + AD^2 - 2OA \cdot AD \cdot \cos \angle OAD$

$7 = 9 + 7 - 2\cdot 3\cdot \sqrt{7} \cdot \cos\angle OAD$

$\cos\angle OAD = \frac{9}{6\sqrt{7}}=\frac{3}{2\sqrt{7}}$

$\sin^2\angle OAD = 1 - (\frac{3}{2\sqrt{7}})^2 = 1 - \frac{9}{28} = \frac{19}{28}$

$\sin\angle OAD = \sqrt{\frac{19}{28}}=\frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{7}}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{\sqrt{19}}{2\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{19}}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot S \cdot CL = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3\sqrt{19}}{4} \cdot CL = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

$\frac{\sqrt{19}}{4} \cdot CL = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

$CL = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{9\sqrt{38}}{19}$

3. 最終的な答え

13: エ. $\sqrt{7}$

14: イ. $\frac{\sqrt{21}}{3}$

15: イ. $\sqrt{6}$

16: イ. $\frac{9\sqrt{2}}{4}$

17: ア. $\frac{5}{14}$

18: ウ. $\frac{9\sqrt{38}}{19}$