与えられた式 $4a^2 - b^2 - 2b - 1$ を因数分解してください。

## 問題43(1)

1. 問題の内容

与えられた式 $4a^2 - b^2 - 2b - 1$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、後ろの3項をマイナスでくくると、$4a^2 - (b^2 + 2b + 1)$となります。

括弧の中身は $(b+1)^2$ と因数分解できるので、$4a^2 - (b+1)^2$ となります。

ここで、$4a^2 = (2a)^2$ であることに注目すると、これは $A^2 - B^2$ の形をしているので、和と差の積の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用して因数分解できます。

$A = 2a$, $B = b+1$ とすると、

$4a^2 - (b+1)^2 = (2a + (b+1))(2a - (b+1))$ となります。

最後に括弧を外して整理すると、

$(2a + b + 1)(2a - b - 1)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2a + b + 1)(2a - b - 1)$

## 問題43(2)

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - 4x + 5y + 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理すると、

$x^2 - (y+4)x - (2y^2 - 5y - 3)$ となります。

次に、$2y^2 - 5y - 3$ を因数分解します。

たすき掛けなどを用いると、$(2y+1)(y-3)$ となります。

よって、与式は $x^2 - (y+4)x - (2y+1)(y-3)$ となります。

ここで、$x$ についての二次式と見て、因数分解を試みます。

$(x + A)(x + B) = x^2 + (A+B)x + AB$ の形を目指します。

$A + B = -(y+4)$ であり、$AB = -(2y+1)(y-3)$ となる $A$ と $B$ を探します。

$A = (y-3)$, $B = -(2y+1)$ とすると、

$A + B = y - 3 - 2y - 1 = -y - 4 = -(y+4)$

$AB = -(2y+1)(y-3)$

となるので、与式は $(x + y - 3)(x - 2y - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + y - 3)(x - 2y - 1)$

## 問題44(1)

1. 問題の内容

与えられた式 $(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2 - (3 + \sqrt{3})^2$ を計算してください。

2. 解き方の手順

$(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2$ を展開すると $(\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 - 2\sqrt{12} + 2 = 8 - 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 - 4\sqrt{3}$ となります。

$(3 + \sqrt{3})^2$ を展開すると $3^2 + 2 \cdot 3 \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3}$ となります。

よって、与式は $(8 - 4\sqrt{3}) - (12 + 6\sqrt{3}) = 8 - 4\sqrt{3} - 12 - 6\sqrt{3} = -4 - 10\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$-4 - 10\sqrt{3}$

## 問題44(2)

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{20} - \sqrt{5} + \sqrt{45}}{\sqrt{5} - 2}$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、分子を簡単にします。

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

よって、分子は $2\sqrt{5} - \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ となります。

与式は $\frac{4\sqrt{5}}{\sqrt{5} - 2}$ となります。

分母の有理化のために、分子と分母に $\sqrt{5} + 2$ をかけます。

$\frac{4\sqrt{5}(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{4(5 + 2\sqrt{5})}{5 - 4} = \frac{20 + 8\sqrt{5}}{1} = 20 + 8\sqrt{5}$ となります。

3. 最終的な答え

$20 + 8\sqrt{5}$