2次方程式 $x^2 - 8x + a = 0$ の1つの解が $x = 4 + \sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値と他の解を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 8x + a = 0$ の1つの解が $x = 4 + \sqrt{2}$ であるとき、定数 $a$ の値と他の解を求める。

2. 解き方の手順

1つの解が $x = 4 + \sqrt{2}$ であることから、これを2次方程式に代入して $a$ の値を求める。

$(4 + \sqrt{2})^2 - 8(4 + \sqrt{2}) + a = 0$

$16 + 8\sqrt{2} + 2 - 32 - 8\sqrt{2} + a = 0$

$18 - 32 + a = 0$

$-14 + a = 0$

$a = 14$

したがって、2次方程式は $x^2 - 8x + 14 = 0$ となる。

解と係数の関係より、2つの解を $\alpha$ と $4 + \sqrt{2}$ とすると、

$\alpha + (4 + \sqrt{2}) = 8$

$\alpha = 8 - (4 + \sqrt{2})$

$\alpha = 4 - \sqrt{2}$

または、解の公式を用いて $x^2 - 8x + 14 = 0$ を解くと、

$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(14)}}{2(1)}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 56}}{2}$

$x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 4 \pm \sqrt{2}$

よって、他の解は $4 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a = 14$

他の解は $4 - \sqrt{2}$