2つの二次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ と $x^2 + x + k = 0$ が共通な実数解を持つような定数 $k$ の値を求め、その共通解を求めよ。

1. 問題の内容

2つの二次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ と $x^2 + x + k = 0$ が共通な実数解を持つような定数 $k$ の値を求め、その共通解を求めよ。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、

$\alpha^2 + k\alpha + 1 = 0$ ...(1)

$\alpha^2 + \alpha + k = 0$ ...(2)

(1) - (2) より、

$(k-1)\alpha + (1-k) = 0$

$(k-1)\alpha - (k-1) = 0$

$(k-1)(\alpha - 1) = 0$

よって、$k=1$ または $\alpha = 1$

(i) $k = 1$ のとき、2つの二次方程式はどちらも $x^2 + x + 1 = 0$ となる。

この方程式の判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3 < 0$ なので、実数解を持たない。したがって、$k = 1$ は不適。

(ii) $\alpha = 1$ のとき、(1)に代入して、

$1^2 + k(1) + 1 = 0$

$1 + k + 1 = 0$

$k = -2$

このとき、2つの二次方程式はそれぞれ、

$x^2 - 2x + 1 = 0$ と $x^2 + x - 2 = 0$ となる。

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ より、$x = 1$

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = 0$ より、$x = -2, 1$

よって、共通解は $x = 1$ である。

3. 最終的な答え

$k = -2$

共通解は $x = 1$