与えられたベクトル $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}, \vec{a}$ に対して、以下の問題を解きます。 (1) $\vec{a}$ を $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ の一次結合で表す。つまり、$\vec{a} = c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3} + c_4\vec{v_4}$ となる $c_1, c_2, c_3, c_4$ を求める。 (2) $\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4} \rangle_{\mathbb{R}}$ と $\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}, \vec{a} \rangle_{\mathbb{R}}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}, \vec{a}$ に対して、以下の問題を解きます。

(1) $\vec{a}$ を $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ の一次結合で表す。つまり、$\vec{a} = c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3} + c_4\vec{v_4}$ となる $c_1, c_2, c_3, c_4$ を求める。

(2) $\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4} \rangle_{\mathbb{R}}$ と $\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}, \vec{a} \rangle_{\mathbb{R}}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ を $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ の一次結合で表す。

$\vec{a} = c_1\vec{v_1} + c_2\vec{v_2} + c_3\vec{v_3} + c_4\vec{v_4}$ より、

$$$$

\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_4 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}

$$$$

この連立一次方程式を解く。

この式は以下の連立一次方程式に対応する。

$2c_1 - c_2 + c_3 + 2c_4 = 1$

$0c_1 + c_2 + 3c_3 - c_4 = -2$

$2c_1 - 2c_2 - c_3 + 4c_4 = 2$

$-3c_1 + c_2 + c_3 + 3c_4 = -3$

掃き出し法を使って解く。

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\

2 & -2 & -1 & 4 & 2 \\

-3 & 1 & 1 & 3 & -3

\end{pmatrix}

$$

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\

0 & -1 & -2 & 2 & 1 \\

0 & -1/2 & 5/2 & 6 & -3/2 + 3/2 = -3/2

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & -2 + 5/2 & 3 - 6/2 & -3/2 +1 + 3/2

\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}

2 & -1 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 1 & 3 & -1 & -2 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{pmatrix}$

$c_3 + c_4 = -1$

$c_2 + 3c_3 - c_4 = -2$

$2c_1 - c_2 + c_3 + 2c_4 = 1$

$c_4 = 0$ とすると、$c_3 = -1$

$c_2 + 3(-1) = -2$ なので $c_2 = 1$

$2c_1 - 1 - 1 = 1$ なので $2c_1 = 3$ で $c_1 = 3/2$

$c_4 = t$ とすると、$c_3 = -1 - t$

$c_2 + 3(-1 - t) - t = -2$ なので $c_2 -3 - 3t - t = -2$, $c_2 = 1 + 4t$

$2c_1 - (1 + 4t) + (-1 - t) + 2t = 1$ なので $2c_1 - 1 - 4t - 1 - t + 2t = 1$, $2c_1 - 2 - 3t = 1$, $2c_1 = 3 + 3t$, $c_1 = (3 + 3t)/2$

よって$\vec{a} = (3/2) \vec{v_1} + 1 \vec{v_2} - 1 \vec{v_3} + 0 \vec{v_4}$

(2)

$\vec{a} = (3/2) \vec{v_1} + \vec{v_2} - \vec{v_3}$ と表せるため、$\vec{a}$ は $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$ の線形結合で表せる。

$\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4} \rangle_{\mathbb{R}}$ の次元を考える。

$\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}$ が線形独立かどうかを調べる。もし線形独立でなければ、次元は4より小さくなる。

$\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4} \rangle_{\mathbb{R}} = 3$ であることがわかる。 なぜならrankが3であるから。

したがって$\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}, \vec{a} \rangle_{\mathbb{R}} = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} = \frac{3}{2}\vec{v_1} + \vec{v_2} - \vec{v_3} + 0\vec{v_4}$

(2) $\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4} \rangle_{\mathbb{R}} = 3$, $\text{dim}\langle \vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_4}, \vec{a} \rangle_{\mathbb{R}} = 3$