与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ に対して、$Ax = 0$ を満たす $x$ を求めよ。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ とベクトル $x$ に対して、$Ax = 0$ を満たす $x$ を求めよ。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

$Ax = 0$ を計算する。

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

この行列の積を計算すると、以下の連立方程式が得られる。

$x_1 - x_3 = 0$

$2x_1 - 2x_3 = 0$

$-x_1 + x_3 = 0$

これらの式はすべて同値で、$x_1 = x_3$ を意味する。$x_2$ に関しては制約がないので、任意の値を取ることができる。

$x_1 = x_3 = t$ とおくと、$x = \begin{pmatrix} t \\ x_2 \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + x_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ となる。

したがって、解は $x_1 = x_3$ かつ $x_2$ は任意の実数である。

3. 最終的な答え

$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_1 \end{pmatrix}$ (ただし、$x_1, x_2$ は任意の実数)

または

$x = t \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (ただし、$t, s$ は任意の実数)