問題39:2次関数 $y = x^2 - (k+3)x + 3k$ のグラフがx軸から切り取る線分の長さが5であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。 問題40(2):$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x^3 - 2x^2$ と $x^4 - 3x^3$ の値を求めよ。

代数学二次関数二次方程式解と係数の関係式の計算
2025/7/29

1. 問題の内容

問題39:2次関数 y=x2(k+3)x+3ky = x^2 - (k+3)x + 3k のグラフがx軸から切り取る線分の長さが5であるとき、定数 kk の値を求めよ。
問題40(2):x=352x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} のとき、x32x2x^3 - 2x^2x43x3x^4 - 3x^3 の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題39:
x軸から切り取る線分の長さは、2次方程式 x2(k+3)x+3k=0x^2 - (k+3)x + 3k = 0 の2つの解の差の絶対値に等しい。
解を α\alphaβ\beta とすると、解と係数の関係より、
α+β=k+3\alpha + \beta = k + 3
αβ=3k\alpha \beta = 3k
線分の長さが5なので、 αβ=5|\alpha - \beta| = 5
(αβ)2=(α+β)24αβ=(k+3)24(3k)=52=25(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (k+3)^2 - 4(3k) = 5^2 = 25
k2+6k+912k=25k^2 + 6k + 9 - 12k = 25
k26k16=0k^2 - 6k - 16 = 0
(k8)(k+2)=0(k-8)(k+2) = 0
k=8,2k = 8, -2
k=8k=8のとき、y=x211x+24=(x3)(x8)y = x^2 - 11x + 24 = (x-3)(x-8) となり、x軸との交点は3と8となり、線分の長さは5となる。
k=2k=-2のとき、y=x2x6=(x+2)(x3)y = x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3) となり、x軸との交点は-2と3となり、線分の長さは5となる。
問題40(2):
x=352x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} より、
2x=352x = 3 - \sqrt{5}
2x3=52x - 3 = -\sqrt{5}
(2x3)2=(5)2(2x - 3)^2 = (-\sqrt{5})^2
4x212x+9=54x^2 - 12x + 9 = 5
4x212x+4=04x^2 - 12x + 4 = 0
x23x+1=0x^2 - 3x + 1 = 0
x2=3x1x^2 = 3x - 1
x3=x(x2)=x(3x1)=3x2x=3(3x1)x=9x3x=8x3x^3 = x(x^2) = x(3x - 1) = 3x^2 - x = 3(3x - 1) - x = 9x - 3 - x = 8x - 3
x32x2=(8x3)2(3x1)=8x36x+2=2x1=2(352)1=351=25x^3 - 2x^2 = (8x - 3) - 2(3x - 1) = 8x - 3 - 6x + 2 = 2x - 1 = 2(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) - 1 = 3 - \sqrt{5} - 1 = 2 - \sqrt{5}
x4=x(x3)=x(8x3)=8x23x=8(3x1)3x=24x83x=21x8x^4 = x(x^3) = x(8x - 3) = 8x^2 - 3x = 8(3x - 1) - 3x = 24x - 8 - 3x = 21x - 8
x43x3=(21x8)3(8x3)=21x824x+9=3x+1=3(352)+1=9+352+1=9+35+22=7+352x^4 - 3x^3 = (21x - 8) - 3(8x - 3) = 21x - 8 - 24x + 9 = -3x + 1 = -3(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}) + 1 = \frac{-9 + 3\sqrt{5}}{2} + 1 = \frac{-9 + 3\sqrt{5} + 2}{2} = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}

3. 最終的な答え

問題39:k=8,2k = 8, -2
問題40(2):x32x2=25x^3 - 2x^2 = 2 - \sqrt{5}, x43x3=7+352x^4 - 3x^3 = \frac{-7 + 3\sqrt{5}}{2}

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