2つの2次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ と $x^2 + x + k = 0$ が共通な実数解をもつとき、定数 $k$ の値を求め、その共通解を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの2次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ と $x^2 + x + k = 0$ が共通な実数解をもつとき、定数 $k$ の値を求め、その共通解を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立ちます。

$$\alpha^2 + k\alpha + 1 = 0 \qquad (1)$$

$$\alpha^2 + \alpha + k = 0 \qquad (2)$$

(1) - (2) より、

$$(k\alpha + 1) - (\alpha + k) = 0$$

$$(k - 1)\alpha - (k - 1) = 0$$

$$(k - 1)(\alpha - 1) = 0$$

したがって、$k = 1$ または $\alpha = 1$ となります。

(i) $k = 1$ のとき、2つの2次方程式はどちらも $x^2 + x + 1 = 0$ となります。この方程式の判別式 $D = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$ なので、実数解を持ちません。したがって、$k = 1$ は不適です。

(ii) $\alpha = 1$ のとき、(1)に代入すると、

$$1^2 + k(1) + 1 = 0$$

$$k + 2 = 0$$

$$k = -2$$

このとき、2つの2次方程式はそれぞれ $x^2 - 2x + 1 = 0$ と $x^2 + x - 2 = 0$ となります。

$x^2 - 2x + 1 = 0$ は $(x - 1)^2 = 0$ より $x = 1$ を解にもちます。

$x^2 + x - 2 = 0$ は $(x - 1)(x + 2) = 0$ より $x = 1, -2$ を解にもちます。

したがって、$k = -2$ のとき、共通解は $x = 1$ です。

3. 最終的な答え

$k = -2$

共通解：$x = 1$