問題は、2点 $A(3, 1)$ と $B(-1, 4)$ を通る直線の方程式、直線 $AB$ に平行で点 $(-2, 1)$ を通る直線の方程式、そして線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めるものです。

## 解答

1. 問題の内容

問題は、2点 $A(3, 1)$ と $B(-1, 4)$ を通る直線の方程式、直線 $AB$ に平行で点 $(-2, 1)$ を通る直線の方程式、そして線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めるものです。

2. 解き方の手順

(1) 2点 $A(3, 1)$ と $B(-1, 4)$ を通る直線の方程式を求めます。

直線の傾き $m$ は、

$m = \frac{4 - 1}{-1 - 3} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$

となります。

点 $A(3, 1)$ を通る直線の式は、

$y - 1 = -\frac{3}{4}(x - 3)$

$4(y - 1) = -3(x - 3)$

$4y - 4 = -3x + 9$

$3x + 4y - 13 = 0$

したがって、$3x + 4y - 13 = 0$となります。

(2) 直線 $AB$ に平行で点 $(-2, 1)$ を通る直線の方程式を求めます。

直線 $AB$ に平行なので、傾きは同じ $-\frac{3}{4}$ です。

点 $(-2, 1)$ を通る直線の式は、

$y - 1 = -\frac{3}{4}(x + 2)$

$4(y - 1) = -3(x + 2)$

$4y - 4 = -3x - 6$

$3x + 4y + 2 = 0$

したがって、$3x + 4y + 2 = 0$ となります。

(3) 線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求めます。

線分 $AB$ の中点 $M$ は、

$M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}, \frac{1 + 4}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{5}{2}\right) = \left(1, \frac{5}{2}\right)$

となります。

線分 $AB$ に垂直な直線の傾きは、$-\frac{3}{4}$ の逆数の符号を変えたものなので、$\frac{4}{3}$ となります。

中点 $M\left(1, \frac{5}{2}\right)$ を通り、傾きが $\frac{4}{3}$ の直線の方程式は、

$y - \frac{5}{2} = \frac{4}{3}(x - 1)$

$6y - 15 = 8(x - 1)$

$6y - 15 = 8x - 8$

$8x - 6y + 7 = 0$

したがって、$8x - 6y + 7 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

* $3x + 4y - 13 = 0$ より、ア = 4, イウ = 13

* $3x + 4y + 2 = 0$ より、エ = 4, オ = 2

* $8x - 6y + 7 = 0$ より、カ = 8, キ = 6, ク = 7