3点A(1,2,3), B(-1,3,-2), C(0,1,3)が与えられたとき、以下の問いに答える。 (1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求める。 (2) 三角形ABCの重心の座標を求める。 (3) ベクトル$\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$を隣り合う2辺とする平行四辺形の残りの頂点Dの座標を求める。

## 問題の解答

### 【問題 6-1】

1. 問題の内容

3点A(1,2,3), B(-1,3,-2), C(0,1,3)が与えられたとき、以下の問いに答える。

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$の成分表示を求める。

(2) 三角形ABCの重心の座標を求める。

(3) ベクトル$\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$を隣り合う2辺とする平行四辺形の残りの頂点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル$\overrightarrow{AB}$は、点Bの位置ベクトルから点Aの位置ベクトルを引くことで求まる。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = (-1,3,-2) - (1,2,3) = (-2, 1, -5)$

(2) 三角形ABCの重心の座標は、各頂点の座標の平均を取ることで求まる。

$G = (\frac{1+(-1)+0}{3}, \frac{2+3+1}{3}, \frac{3+(-2)+3}{3}) = (0, 2, \frac{4}{3})$

(3) 平行四辺形の性質より、$\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BD}$である。点Dの位置ベクトル$\overrightarrow{OD}$は、$\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BD}$で求まる。

$\overrightarrow{BA} = (1,2,3) - (-1,3,-2) = (2,-1,5)$

$\overrightarrow{BC} = (0,1,3) - (-1,3,-2) = (1,-2,5)$

$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = (2,-1,5) + (1,-2,5) = (3,-3,10)$

$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BD} = (-1,3,-2) + (3,-3,10) = (2,0,8)$

したがって、点Dの座標は(2,0,8)。

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AB} = (-2, 1, -5)$

(2) $(0, 2, \frac{4}{3})$

(3) (2,0,8)

### 【問題 6-2】

1. 問題の内容

(1) 以下のベクトルの外積を計算する。

(i) $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) ベクトル$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$の両方に直交するベクトルで、零ベクトル$\overrightarrow{0}$でないものをひとつ求める。

(3) ベクトル$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$の両方に直交するベクトルで、長さ1のものをすべて求める。

(4) A(1,0,-1), B(2,1,-2), C(2,2,0)のとき、三角形ABCの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの外積は以下のように計算する。

(i) $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (-1)(2) \\ (-1)(1) - (1)(1) \\ (1)(2) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(-1) - (1)(1) \\ (1)(1) - (1)(-1) \\ (1)(1) - (2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 求めるベクトルを$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$とすると、2つのベクトルと直交するため、内積が0になる。

$0x + 1y -2z = 0$

$2x - 1y + 1z = 0$

これを解くと、$y = 2z$, $2x = y - z = 2z - z = z$, $x = \frac{1}{2}z$

したがって、$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}z \\ 2z \\ z \end{pmatrix}$となり、例えばz=2のとき、$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3) (2)で求めたベクトル$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}z \\ 2z \\ z \end{pmatrix}$の長さが1になるようにzを定める。

$\sqrt{(\frac{1}{2}z)^2 + (2z)^2 + z^2} = 1$

$\sqrt{\frac{1}{4}z^2 + 4z^2 + z^2} = \sqrt{\frac{21}{4}z^2} = \frac{\sqrt{21}}{2}|z| = 1$

$|z| = \frac{2}{\sqrt{21}}$

$z = \pm \frac{2}{\sqrt{21}}$

したがって、求めるベクトルは

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{21}} \\ \frac{4}{\sqrt{21}} \\ \frac{2}{\sqrt{21}} \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{21}} \\ -\frac{4}{\sqrt{21}} \\ -\frac{2}{\sqrt{21}} \end{pmatrix}$

(4) 三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$で求まる。

$\overrightarrow{AB} = (2,1,-2) - (1,0,-1) = (1,1,-1)$

$\overrightarrow{AC} = (2,2,0) - (1,0,-1) = (1,2,1)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} (1)(1) - (-1)(2) \\ (-1)(1) - (1)(1) \\ (1)(2) - (1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

したがって、面積は$\frac{\sqrt{14}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) (i) $\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (ii) $\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$など

(3) $\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{21}} \\ \frac{4}{\sqrt{21}} \\ \frac{2}{\sqrt{21}} \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{21}} \\ -\frac{4}{\sqrt{21}} \\ -\frac{2}{\sqrt{21}} \end{pmatrix}$

(4) $\frac{\sqrt{14}}{2}$